V30 Théorème de Cayley Hamilton

On donne une preuve constructive ( Pour un étudiant de S3 ) du Théorème de Cayley Hamilton . Ce théorème; affirme que le polynôme caractéristique d'un endomorphismes est un polynôme annulateur de cet endomorphisme . La preuve utilise les notions suivantes :
1) Ecriture polynomiale d'un sous-espace vectoriel, engendré par une partie infinie.
2) Sous-espace stable par un endomorphisme .
3) Propriétés des familles libres ( Le cardinal d'une partie libre est inférieur à la dimension de l'espace. Caractérisation d'une famille liée qui contient une famille libre...ect )
4) Matrice compagnon . ( Voir la vidéo élément propre d'une matrice compagnon ) .
5) Le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit, divise le polynôme caractéristique de f . (Voir la vidéo polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit )
6) Noter que la solution est une adaptation du chapitre polynôme minimal d'un endomorphisme. Par exemple pour montrer que la famille B est génératrice, on fait comme dans le cours , nous effectuons la division euclidienne de P(X) par le polynôme minimal de A, dans ce problème , on applique le vecteur x à une telle relation et nous obtenons de manière propre que la famille B, est génératrice ( Noter l'intérêt des notations polynomiales ) Conclusion : Pour le concours, il faut connaître le cours ). Voir V31 où on propose des applications élégantes du Théorème de Cayley_Hamilton où on caractérise une matrice nilpotente par son polynôme caractéristique Il existe 35 vidéos du Pr. HADDI sur le YouTube, qui résument le livre algèbre 2 du Pr HADDI sur la réduction des matrices .