Exercice (Structures algébriques) - Ordre d'un groupe et cyclicité (Khôlles & classiques

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Ajoutées 4 années by admin

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Cette vidéo fait partie d'une série sur les colles, exercices type et grand classiques des concours des grandes écoles. Lien pour la playlist: https://www.youtube.com/watch?v=xLrNSffHDT8&list=PLRjT-F0FNUJEL0wK9WL4RoDcBg8ZumBz6

rappel - 02:35
Question 1- 07:44
Question 2 - 13:45

Dans cet exercice classique des maths et de l'algèbre en prépa ( MP ), on montre que dans un groupe fini abélien, la fonction qui à un élément associe son ordre est une fonction semi-multiplicative au sens suivant: si les ordres de deux éléments sont premiers entre eux, alors l’ordre du produit de ces deux éléments est égal au produit de leurs ordres. L’application de ce résultat qu’on va faire est un autre résultat classique des oraux et écrits des concours d'entrées aux grandes écoles: Si l’ordre d’un groupe commutatif G est le produit de deux nombres premiers distincts, alors le groupe G est forcément cyclique. Donc un groupe abélien qui a exactement 21 éléments est nécessairement un groupe cyclique. La vidéo commence par des rappels sur les groupes dont on a besoin pour la suite: groupes cycliques, ordre d'un groupe ou d'un sous groupe, ordre d'un élément, théorème de Lagrange (l'ordre d'un sous groupe divise l'ordre du groupe), et autres.